非線形PDE解法のためのDGMおよびPINNアルゴリズムのグローバル収束

非線形偏微分方程式の解法として広く用いられるDGMおよびPINNアルゴリズムのグローバル収束性を理論的に証明。目的関数の非凸性にもかかわらず、提案手法が最適解に収束することを示すことで、これらの手法の信頼性を向上させる。

• 深層ガレルキン法(DGM)および物理情報ニューラルネットワーク(PINN)は、科学機械学習分野で広く利用されている。
• これらの手法は、ニューラルネットワークがPDE残差を最小化するように訓練される。
• しかし、非線形PDEでは目的関数が非凸なため、局所解に収束する可能性があった。
• 本研究では、半線形PDE（解と一次導関数に関して非線形）のクラスについて、DGMとPINNがPDE解に収束することを証明した。
• これにより、これらのアルゴリズムの数学的基盤が確立され、信頼性が向上した。